Pascal's Triangle - Exercises
a) \((x+y)^3\) b) \((3x-7)^{15}\) c) \((2x+\frac{1}{2})^n\) d) \((y-2x)^{n+4}\)
a) 第4行 (1, 3, 3, 1)
b) 第16行
c) 第(n+1)行
d) 第(n+5)行
a) \((x+y)^4\) b) \((p+q)^5\) c) \((a-b)^3\) d) \((x+4)^3\)
e) \((2x-3)^4\) f) \((a+2)^5\) g) \((3x-4)^4\) h) \((2x-3y)^4\)
a) \(x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\)
b) \(p^5 + 5p^4q + 10p^3q^2 + 10p^2q^3 + 5pq^4 + q^5\)
c) \(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)
d) \(x^3 + 12x^2 + 48x + 64\)
e) \(16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81\)
f) \(a^5 + 10a^4 + 40a^3 + 80a^2 + 80a + 32\)
g) \(81x^4 - 432x^3 + 864x^2 - 768x + 256\)
h) \(16x^4 - 96x^3y + 216x^2y^2 - 216xy^3 + 81y^4\)
a) \((4+x)^4\) b) \((1-x)^5\) c) \((3+2x)^3\) d) \((4+2x)^5\)
e) \((2+x)^6\) f) \((4-\frac{1}{2}x)^4\) g) \((x+2)^5\) h) \((3-2x)^4\)
a) 4
b) -10
c) 8
d) 160
e) 20
f) -1
g) 80
h) -32
\((1+3x)(1+2x)^3 = (1+3x)(1+6x+12x^2+8x^3)\)
\(= 1+6x+12x^2+8x^3+3x+18x^2+36x^3+24x^4\)
\(= 1+9x+30x^2+44x^3+24x^4\)
\((2+y)^3 = 8 + 12y + 6y^2 + y^3\)
\((2+x-x^2)^3 = 8 + 12(x-x^2) + 6(x-x^2)^2 + (x-x^2)^3\)
\(= 8 + 12x - 12x^2 + 6x^2 - 12x^3 + 6x^4 + x^3 - 3x^4 + 3x^5 - x^6\)
\(= 8 + 12x - 6x^2 - 11x^3 + 3x^4 + 3x^5 - x^6\)
\((2+ax)^3 = 8 + 12ax + 6a^2x^2 + a^3x^3\)
\(x^2\) 的系数是 \(6a^2 = 54\)
\(a^2 = 9\)
\(a = \pm 3\)
\((3+bx)^3 = 27 + 27bx + 9b^2x^2 + b^3x^3\)
\((2-x)(27 + 27bx + 9b^2x^2 + b^3x^3)\)
\(x^2\) 项：\(2 \times 9b^2x^2 + (-x) \times 27bx = 18b^2x^2 - 27bx^2\)
系数：\(18b^2 - 27b = 45\)
\(18b^2 - 27b - 45 = 0\)
\(6b^2 - 9b - 15 = 0\)
\(2b^2 - 3b - 5 = 0\)
\((2b-5)(b+1) = 0\)
\(b = \frac{5}{2}\) 或 \(b = -1\)
\((p-2x)^3 = p^3 - 6p^2x + 12px^2 - 8x^3\)
\(x^2\) 的系数是 \(12p\)